Kirchentonleitern: Frage für wirklich tief Denkende

[CUDO II]

gelöscht

 

[omnimusicus]

Warum kopierst Du eine unformatierte Textwüste, die nicht direkt mit dem Thema zu tun hat, Deutsch und Englisch enthält und am Ende unvollständig ist ?

Also, ich bin für "Löschen".

 

[turko]

OK, weil ich den Thread nicht unnötig in die Länge ziehen will, ziehe ich hier und jetzt mein persönliches Fazit:

Scheinbar gibt es keine unumstrittene und allgemeingültige Antwort auf meine Frage (was ich sehr bedauere ... ich hatte gehofft,
es gäbe sie, und ich kenne sie nur nicht ...).

Einige von Euch haben sich dankenswerterweise die Mühe gemacht, verschiedene Herleitungen und Herangehensweisen ins
Spiel zu bringen. Die finde ich allesamt einmal interessant, will und kann sie aber zum jetzigen Zeitpunkt für mich noch gar nicht bewerten.
Das muß ich mir alles erst einmal in aller Ruhe durchdenken.

Soweit, so gut.

LG
Thomas

 

[dubbel]

... gibt es keine unumstrittene und allgemeingültige Antwort

gibt es überhaupt eine unumstrittene Antwort hier im forum?

es gibt allerdings eine logische antwort unter der annahme, dass die halb- und ganztonschritte gegeben sind.
können wir uns darauf einigen, dass andere tonleitern unter dieser voraussetzung nicht möglich sind?

 

[turko]

Ich verweise auf den vorletzten Satz meines vorangegangenen Postings.

Thomas

 

[CUDO II]

...

 

[MaxJoy]

Schöner Beitrag, der ein bisschen Licht in die Entwicklung der verschiedenen Tonsysteme bringt.

4. Eine reine Stimmung, in der z.B. alle Terzen gleich groß sind, gab es bis zum Ende des 17. Jahrhunderts noch nicht, so daß einige Dreiklangsbildungen nicht unbedingt den Eindruck von Harmonie hervorriefen. Erst mit Werckmeisters temperierter Stimmung war dies möglich. Sie verhalf dem Dur-Moll-System zum endgültigen Durchbruch, gerade weil Werckmeister es hierfür entwickelte.

Werckmeister ist aber keine reine Stimmung mit gleich großen Terzen, sondern eine wohltemperierte, d. h. hier klingen die Akkorde mal mehr und mal weniger gut, aber immerhin alle erträglich.

 

[omnimusicus]

Zweiter Versuch

Dieser Auszug ist immerhin lesbar, und nicht lieblos, mitsamt Klappentext, der Zwischenablage entnommen
Aber was willst Du selbst damit sagen ? Viele dieser Sätze waren hier schon dran. Wenig neues zur eigentlichen Frage.

Die Kirchentöne (bzw. -Tonarten) sind zunächst einmal nichts anderes als lediglich Ausschnitte aus einer mit dem Ton a beginnenden, 2 Oktaven umfassenden Tonleiter.

Genau das ist ja für mich der eigentliche Diskussionspunkt. Und ich meinte, @turko sieht es ähnlich:
Die Kirchentöne/Modi sind nach meiner Erfahrung historisch gesehen eben nicht Ausschnitte einer großen Tonleiter.
Diese Modi waren schon längst da, als die griechischen Theoretiker diese Tonleiter drumherum gebaut hatten.
Melodien waren lange Zeit eher "kleinräumig", ohne große Intervallsprünge. Guido von Arrezzo kam auch zuerst mit 4 Notenlinien aus. Zwei Oktaven waren für den täglichen Gebrauch nicht nötig. (Ist ja heute auch nicht groß anders. Viele Pop-Melodien gehen vom Tonumfang her nicht über eine Quinte oder Sexte hinaus)

Die - ich nenne es mal schnell so - "große Tonleiter" ist nicht der Ausgangspunkt der Musik, sondern das Ende der theoretischen Beschreibung.

Mein Ausgangspunkt ist so:
Damalige Melodien wurden gesungen. Es gab unterschiedliche Melodien. Beim genaueren Betrachten konnte man erkennen, daß es mehrere ähnliche Muster an Tonzusammenhängen gab. Das wurde als Modus beschrieben. Jeder Modus steht aber zuerst einmal für sich. So, wie ich auch heute "Oh Du fröhliche" singen kann, ohne zu wissen, in welchem Teil eines Gesamtsystems ich mich befinde.

Und die Tatsache, daß sich diese Modi überlappen und sich zu einem System von Tonleitern zusammenfügen, finde ich nach wie vor interessant und nicht zwangsläufig. Wie schon erwähnt, in anderen Kulturkreisen funktioniert das nicht.

 

[turko]

Die Kirchentöne ... sind ... Ausschnitte aus einer mit dem Ton a beginnenden, 2 Oktaven umfassenden Tonleiter.

Das finde ich mal interessant.
Und welche Töne beinhaltete diese Tonleiter ? Wie heißt die ? Kann man die wo besichtigen ?

LG
Thomas

 

[CUDO II]

Dieser Auszug ist immerhin lesbar, und nicht lieblos, mitsamt Klappentext, der Zwischenablage entnommen

?


Bin hier raus.

 

[LoboMix]

Wenn du nach reiner Stimmung gehst (welche auf der Obertonreihe basiert) und deinen Grundton z.B. auf A oder E setzt, ist das richtig. Setzt du deinen Grundton aber z.B auf D, ist das Interval E - G keine kleine Terz mehr, sondern der Sprung von Sekunde zu Quarte mit dem Frequenzverhältnis 32/27. Das ist zwar ungefähr 6/5 aber nicht ganz.
Und genau das ist mein Punkt. Der Mensch ist jetzt hingegangen und hat gesagt: Voll unpraktisch, lass mal 5 grade sein und so tun, als ob das alles das Selbe wäre. Tada, temperierte Stimmung.
Das ist eine rein Menschen-gemachte Konvention, an der es nichts zu verstehen gibt, die man einfach hinnehmen muss.

Wenn ich von einem A mit 220 Hz ausgehe, dann hat das C über diesem A in "reiner" Stimmung, also als "reine kleine Terz" 264 Hz.
Mit dem Frequenzverhältnis 27:32 hat dieses C 260,74 Hz.
In der modernen gleichstufig temperierten Stimmung hat dieses C genau 261,63 Hz.
Die reine kleine Terz ist also größer als die moderne temperierte kleine Terz und die mit dem Verhältnis 27:32 ist etwas kleiner.
Hier noch der Vollständigkeit halber die Werte der großen Terz C# über dem A mit 220 Hz:
Reine große Terz (4:5): 275 Hz
Gleichstufig temperierte Terz: 277,19 Hz
Die reine große Terz ist also ein wenig kleiner als die moderne temperierte.

Egal, wie man dahin kommt, diese Terzen liegen alle dicht beieinander und werden vom menschlichen Ohr alle als Terz identifiziert, weil sie alle einen ausreichend ähnlichen Klangcharakter haben. Wobei die reinen Intervalle, hier die Terzen, immer etwas hervorstechen, denn bei reinen Intervallen klingt je nach den ausführenden Klangkörpern/Instrumenten mehr oder weniger deutlich hörbar der Differenzton aus dem Frequenzverhältnis als Unterton mit. Und besonders bei den reinen Terzen empfinde ich immer ein mitunter sehr deutliches "Knurren", was für mich diese Terzen schon recht dissonant klingen lassen.
In (sehr viel) früherer Zeit wurde die Terz ja auch als dissonant empfunden.

Dass unser Ohr eine gewisse Toleranz gegenüber kleinen Frequenzabweichungen von Intervallen haben sollte (außer der Oktave), ergibt sich schon aus der Tatsache, dass es sehr anspruchsvoll ist, dass wenn mehrere SpielerInnen/SängerInnen Melodien Unisono spielen/singen, sie das auch immer zu 100% genau schaffen. Eine wenigstens minimale Unsauberkeit wird sich daher in diesen Fällen immer einstellen. Was auch nichts negatives ist - wenn es in einem ausreichend engen Rahmen bleibt -, denn so ein kleiner Chorus-Effekt kann dem Klang durchaus gut tun.
Und ganz allgemein wird nicht jeder Drehleierspieler im Mittelalter (und auch sonst nicht alle Musizierenden) immer zu 100% genau intoniert haben. Wenn Musik nur und ausschließlich auf diesem Level genießbar wäre, hätte die Musik die Menschheit gewiss nicht so intensiv und mit immer größerer Fülle begleitet.

Und auch die 6/5 einer reinen Terz ist kein wirklich logisches Intervall, sondern eine Konvention. Klar kann man sagen, die Obertonreihe ist so schön geometrisch, aber das ist kein rationales Argument. Viele andere Dinge in der Natur und der Kunst sind nicht geometrisch.

"Logisch" ist vielleicht nicht immer der passende Blickwinkel auf die Musik und musikalische Phänomene.
Aber Obertöne sind ein rein physikalisches Phänomen, die entstehen bei natürlichen Klangerzeugern sozusagen als "Abfallprodukt" aus der Grundschwingung. Mit deren Struktur und vor allem den geradzahligen mathematischen Proportionen hat sich bekanntlich schon Pythagoras in der Antike beschäftigt.
Musikalische Ohren haben gewiss aus den Tönen und Klängen Obertöne heraus gehört und empfunden. Da Frequenzverhältnisse den Verhältnissen von Saitenlängen entsprechen (Frequenzen kann man noch nicht so lange wirklich messen), war es für die Vorderen nicht schwer, dass Töne, die in einem Saitenlängenverhältnis von 4:5 bzw. 5:6 stehen genau die Töne sind, wenn ich von einem Ton aus den übernächsten Ton dazu spiele. Das ist dann vom ersten Ton aus immer der dritte Ton einfach fortlaufend gezählt.
In der Zeit als sich die Intervallnamen etablierten war Lateinisch noch die übliche Gelehrten- und Fachsprache. Von daher war- und ist - es auf jeden Fall "logisch", diesen Tonabstand "Terz" zu nennen.

Hier wird der Grundton der Dur-Tonleiter mit "doh" bezeichnet und die folgenden Töne mit re, mi, fa, so, la, ti, doh'. (Bitte nicht mit den Notenbezeichnungen der romanischen Sprachen verwechseln. Bei denen heißt "doh" immer "c"; beim tonic sol-fa ist "doh" stets der Grundton der Tonart des Stückes.)

Auch bei den romanischen Bezeichnungen "Do / Re / Mi ..." wird zwischen der absoluten und der relativen Solmisation unterschieden, wobei letztere vorwiegend in Lernsystemen für Kinder und Jugendliche zum Einsatz kommt.

2. Bildeten die Toni ursprünglich die Grundlage der mittelalterlichen einstimmigen Musik, so brauchte die nun mehrstimmige Kunstmusik eine neue theoretische Grundlage. Auch hier waren es wohl Ionisch und Äolisch, die die besten Ergebnisse erzielten. In diesem Zusammenhang zu berücksichtigen ist dabei der sich im Lauf der Renaissance immer deutlicher vollziehende Wechsel von der horizontalen-sukzessiven zur horizontal-simultanen Kompositionsweise: Der "Komponist" des Mittelalters schreibt ein mehrstimmiges Stück, indem er zuerst die Hauptstimme (den Tenor, in der Regel basierend auf einem gregorianischen Choral) notiert, dann eine zweite Stimme hinzufügt (Contratenor), schließlich eventuell eine weitere (Contratenor secundus) usw. Alle Stimmen stellen dabei die Melodieführung in den Vordergrund, Zusammenklänge sind weniger wichtig. Erst am Ende vereinigen sich alle Stimmen in einer Kadenz, die mit einem "leeren" Quint-Quart-Klang endet; Terzen erscheinen hier äußerst selten, zumal es eine geregelte Stimmung noch nicht gab, und die Terz (und die Sexte) noch als Dissonanzen galten. Erst während der Zeit der Renaissance vollzog sich hier ein Wandel: Zunehmend wurde der Blick nun auf den "harmonischen" Zusammenklang gerichtet, und die Komposition vollzog sich von nun an (zumindest immer öfter) sukzessive, d.h. Alle Stimmen wurden gleichzeitig erfunden.

Gute Beschreibung!
Offensichtlich wurde für das musikalische Empfinden spätestens ab der Renaissance sowohl die Dualität Dur-Moll als auch der Leitton und sein Einsatz in kadenzierenden Wendungen und sowieso das homophone Harmonisieren immer bedeutender. Es öffnete sich mit dem Dur-Moll-System geradezu eine große Tür in eine ganz neue musikalisch Welt mit vor allem auf dem Feld er Harmonik schier unerschöpflichen neuen Möglichkeiten, Klängen, Gestaltungsmöglichkeiten, Formen usw.

 

[Waljakov]

Egal, wie man dahin kommt, diese Terzen liegen alle dicht beieinander und werden vom menschlichen Ohr alle als Terz identifiziert, weil sie alle einen ausreichend ähnlichen Klangcharakter haben

Weil wir alle damit aufgewachsen sind.
Ob dir ein Bach oder ein Werckmeister da zustimmen würde, wage ich zu bezweifeln.
Außerdem hab ich nicht ganz vertsanden, welche Position du mit deiner Ausführung jetzt stützen willst. Für mich steht das größten Teils nicht im Widerspruch zu meiner These, dass heut zu Tage A - C per menschengemachter Definition das selbe Frequenzverhältnis hat wie E - G.

Aber Obertöne sind ein rein physikalisches Phänomen, die entstehen bei natürlichen Klangerzeugern sozusagen als "Abfallprodukt" aus der Grundschwingung.

Touché, das ist guter Punkt für die Obertonreihe als Grundbaustein unserer Stimmung.
Wobei ich deshlab auch bewusst die kleine Terz als Beispiel genommen habe, weil die eben nur theoretisch Teil der Obertonreihe ist. Praktisch wirst du mit der heutigen Auflösungstechnik keine kleine Terz in einem Spektrum eines natürlichen Klangerzeugers erkennen können. Die wäre viel zu leise und hochfrequent und geht deshalb komplett im Hintergrundrauschen unter. Geschweige denn dass man sie hören könnte.

 

[turko]

können wir uns darauf einigen, dass andere tonleitern unter dieser voraussetzung nicht möglich sind?

Das könen wir.
Aber das beantwortet meine Frage/mein Problem ja nicht. Denn das ist ja dann quasi vom Ende her gedacht, so, wie "ich (er-)schließe aus der Dur-Tonleiter jetzt alle KT".
Meine Frage zielt ja eher auf die andere Wirkungsrichtung ab

LG
Thomas

 

[LoboMix]

Ob dir ein Bach oder ein Werckmeister da zustimmen würde, wage ich zu bezweifeln.

Bach musste als Organist in gewisser Weise tolerant im Hören sein. Zu seiner Zeit gab es nicht mal annähernd einen genormten Stimmton und auch keine genormte Temperatur von Stimmungen. Es wird also nahezu jede Orgel an der Bach gespielt hat in einer anderen Stimmtonhöhe gestanden haben und zudem eine mehr oder weniger andere Stimmungs-Temperatur gehabt haben. Bach ist zwar nicht sehr weit herum gekommen in seinem Leben, seine weiteste Reise führte ihn nach Lübeck, wo er Unterricht bei D. Buxtehude nahm. Aufgrund der anderen Klangtradition der norddeutschen Orgeln haben die Orgeln in Lübeck wieder anders geklungen als in seiner Heimat, wo bekanntlich z.B. Gottfried Silbermann die Orgellandschaft sehr geprägt hat.
Aber erstens stammten längst nicht alle Orgeln in Thüringen und Sachsen aus der Silbermann-Werkstatt, es gab ja auch einen Bestand älterer Instrumente, und zweitens differierte auch das Fuß-Maß nach dem die Längen der Orgelpfeifen und die Register-Oktavlagen bemessen wurden über die Zeit und es war oft sogar kleinräumig unterschiedlich.
Da die Unterschiede in den Orgel-Stimmungen und Temperaturen wegen der genannten Gründe sicher oft erheblich abwichen, musste ein Organist, der auch nur ein wenig herum kam, zwangsläufig tolerant hören.

Wobei ich deshalb auch bewusst die kleine Terz als Beispiel genommen habe, weil die eben nur theoretisch Teil der Obertonreihe ist. Praktisch wirst du mit der heutigen Auflösungstechnik keine kleine Terz in einem Spektrum eines natürlichen Klangerzeugers erkennen können.

Aber die kleine Terz findet sich doch schon zwischen der 5. und 6. Harmonischen [https://sengpielaudio.com/Harmonische-Partialtoene-Obertoene.pdf].
Das sind je nach Lage des Grundtons (der 1. Harmonischen) gar nicht so hohe Frequenzen.
Und mit der Glocke gibt es einen schon seit dem Altertum bekannten Klangerzeuger, der sehr kräftige und ausgeprägte Obertöne erzeugen kann. Die lassen sich sowohl gut hören als auch gut bestimmen. Tatsächlich ist es bei Glocken ausgerechnet der Grundton, der stets den geringsten Pegel hat, bei sehr tiefen Glocken fehlt der sogar oft komplett im Spektrum! Bei der Glocke ist es genau diese starke Ausprägung der Obertöne, die den Grundton deutlicher hervortreten lassen, bzw. ihn überhaupt entstehen lassen, ein Phänomen, das als "Unterton" bezeichnet wird. In diesem Fall könnte man regelrecht von einer Art "virtuellem Grundton" sprechen.

Die Herleitung des diatonischen Tonsystems ist ja mehr eine These, eine Theorie, wobei sich nicht wenige Musiktheoretiker mit dieser These beschäftigt haben.
Z.B. Schönberg in seiner "Harmonielehre" und Hindemith in seiner "Unterweisung im Tonsatz" gehen eingangs ausführlich darauf ein.*
Vielleicht waren es sogar die Glocken, die mindestens mit Pate gestanden haben, die Musikwelt immer weiter auf die Spur des diatonischen Tonsystems zu bringen. Um eine gut klingende Glocke oder gar ein gut abgestimmtes Geläut herzustellen Bedarf es einer hervorragenden Kenntnis und Wahrnehmung von Klängen und Obertönen.
Die Glockenbauer waren daher immer schon sehr herausgefordert, zumal die Herstellung einer Glocke nicht nur eine große Kunst, sondern ein vergleichsweise riesiger Aufwand ist und eine verstimmte Glocke nicht mal eben so neu gegossen werden kann.

*)
@turko, daran siehst du, dass deine Eingangsfrage schon andere große Geister intensiv beschäftigt hat. Soweit ich diese Kapitel kenne und gelesen habe, wird die These der Herleitung unseres Tonsystems aber als grundsätzlich stimmig nicht weiter hinterfragt, sondern es werden die Obertöne als Ausgangspunkt dieses Tonsystems mehr oder hingenommen und nicht weiter in Frage gestellt.

 

[turko]

... daran siehst du, dass deine Eingangsfrage schon andere große Geister intensiv beschäftigt hat. ... wird die These der Herleitung unseres Tonsystems aber als grundsätzlich stimmig nicht weiter hinterfragt, sondern es werden die Obertöne als Ausgangspunkt dieses Tonsystems mehr oder hingenommen und nicht weiter in Frage gestellt.

Gut, dann werde ich mich auch damit zufrieden geben. Bleibt mir ja auch, so wie´s ausschaut, nichts anderes über.

Erwähnen möchte ich aber noch, daß ich bei der Formulierung meiner Ausgangsfrage in Post #1 eigentlich überhaupt nicht die Entwicklung unseres Tonystems (mit, oder ohne Obertöne) als
relevant für die Beantwortung im Blick hatte.

Da sich der Thread aber immer mehr in diese Richtung hingebogen hat, muß ich das alles wohl einmal neu denken.

Thomas

 

[LoboMix]

Erwähnen möchte ich aber noch, daß ich bei der Formulierung meiner Ausgangsfrage in Post #1 eigentlich überhaupt nicht die Entwicklung unseres Tonystems (mit, oder ohne Obertöne) als
relevant für die Beantwortung im Blick hatte.

Oops ... sorry ...
Aber musste es nicht schließlich so kommen?

Denn die Frage der Kongruenz der modalen Skalen und der Dur-Skala (aber auch der Moll-Skala) ist ja nicht von der diatonischen Skalen-Struktur selber zu trennen mit ihren zwei Halbtonschritten, die immer im gleichen Abstand zueinander bleiben, aber im jeweiligen Modus immer an einer anderen Stelle der Skala landen, wodurch sich ja erst die unterschiedlichen Charakteristiken dieser Modes/Modi ergeben.

Wenn sich also erst mal eine Art "Ur-Skala" mit dem festliegenden Abstand der Halbtonschritte etabliert hat, ist der Schritt zu den verschiedenen Modi, die aus dieser "Ur-Skala" durch Perpetuieren abgeleitet werden nicht mehr weit.
Wäre diese "Ur-Skala" eine Ganztonleiter oder sofort die volle chromatische Skala mit ihren 12 Halbtönen gewesen, hätte sich dieses spezielle Perpetuieren erübrigt, da diese beiden Skalen immer gleich bleiben, auch wenn ich noch so oft Töne von unten nach oben transferiere.

Die Frage, wie es zu dieser siebentönigen diatonischen "Ur-Skala" gekommen sein mag, ist daher nahe liegend.
Wie gesagt, waren beide, Schöneberg und Hindemith, aber auch andere, mit der - mehr oder weniger nur grundsätzlichen - Ableitung aus den Obertonstrukturen eines Grundtons unter dem Strich zufrieden. Es schien ihnen als System ausreichend plausibel um als Begründung her zu halten.
Letztlich waren bzw. sind die Modi und die diatonische Skala eine nicht zu leugnende Tatsache auf die man sich beziehen und von denen man aus starten kann um Musik zu machen und zu komponieren. Da ist die Herleitung wohl auch nur mehr von philosophischem Interesse.

Aber beschäftigt hat diese und andere Altvorderen die Frage wie gesagt schon.

 

[Waljakov]

Aber die kleine Terz findet sich doch schon zwischen der 5. und 6. Harmonischen

Also zwischen 4 und 5.
Ja eben, zwischen der 4. und 5. Die kleine Terz selbst kommt da nicht vor.

In dem von dir verlinkten Beispiel ist der Grundton c = 65 Hz. Die reine kleine Terz wäre 65Hz * 6/5 = 78 Hz = Eb.
Für die exakte reine kleine Terz sucht man also ein ganzzahliges Vielfaches von 65, welches, wenn man es beliebig oft durch 2 teilt, 78 ergibt. Wenn es das überhaupt gibt, ist das eine sehr große Zahl.

 

[turko]

Aber musste es nicht schließlich so kommen?

Ja, es schaut ganz danach aus.

 

[LoboMix]

@Waljakov, ich empfinde hier ein Missverständnis.
Natürlich kann es im Obertonspektrum keine kleine Terz im Verhältnis zum Grundton geben. Der erste Oberton (= 2. Harmonische) ist immer die Oktave mit dem Verhältnis 2:1 zum Grundton (= 1. Harmonische).
Aber darum geht es bei der Herleitung von Intervallen aus dem Obertonspektrum gar nicht, auch nicht den weiter oben genannten Komponisten in ihren theoretischen Schriften. Es geht darum, welche Intervalle an sich im Obertonspektrum existieren, und im Besonderen in dem Bereich der Obertonspektren, wo die Obertöne noch einen relevanten Pegel haben.

Wie gesagt sind diese im Glockenklang gar nicht mal so schwer heraus zu hören und zu identifizieren. Das Besondere an Glocken ist neben den schon erwähnten Eigenschaften, dass deren Obertöne in konkreten voneinander abgegrenzten Bereichen über den Umfang als Resonanz schwingen (Knotenmeridinae und Knotenkreise). Man muss also mehr oder weniger nur an einer Glocke mit dem Ohr entlang gleiten um einzelne Obertöne wahrnehmen zu können.

Der verlinkten Quelle zu den Glocken ist zudem zu entnehmen, dass sich aus den Teiltönen oft die TERZ als das kräftigste Obertonintervall bei Glocken ausprägt.

 

[Waljakov]

@Waljakov, ich empfinde hier ein Missverständnis.
Natürlich kann es im Obertonspektrum keine kleine Terz im Verhältnis zum Grundton geben. Der erste Oberton (= 2. Harmonische) ist immer die Oktave mit dem Verhältnis 2:1 zum Grundton (= 1. Harmonische).
Aber darum geht es bei der Herleitung von Intervallen aus dem Obertonspektrum gar nicht, auch nicht den weiter oben genannten Komponisten in ihren theoretischen Schriften. Es geht darum, welche Intervalle an sich im Obertonspektrum existieren, und im Besonderen in dem Bereich der Obertonspektren, wo die Obertöne noch einen relevanten Pegel haben.

Ah okay, jetzt versteh ich, was du gemeint hast.
Aber was ist dann an der kleinen Terz so besonders, dass diese es in unser System geschafft hat?
Wenn man alle Intervalle mit einbezieht, nicht nur die zum Grundton, gibt es ja bspw. auch das Interval mit dem Frequenzverhältnis 7/5 oder 7/4. Warum sind die dann nicht Teil der reinen Stimmung?