Der Quintenzirkel &die Gradscheibe

[120]

Liebe Musiker
Ich spiele Akkordeon u. singende Sägen, aber kenne mich mit der Theorie der Musik nicht aus.
Habe aber dazu seit Jahren eine Frage.
Es gibt die Möglichkeit eine Gradscheibe manuell erstaunlich genau mit Lineal und Zirkel zu konstruieren
die zu Recht auch als Quadratur des Kreises verstanden werden kann und muß.
Deren Unmöglichkeit ist nach Ferdinand Lindermann allein auf die mathematische hundertprozentige Genauigkeit bezüglich der Flächengleichheut zu reduzieren!
Die Zündung eines Oldtimers stellt man weiterhin mit der " Gradscheibe " genau genug ein ( 99,999%) !
In der Malerei tauchen die Winkel dieser Konstruktion mindestens zufällig erstaunlich oft und genau auf.
dazu ich zwei drei Beipiele mir anzuhängen erlaube.
Der Schnittpunkt eines flächengleichen Quadrates zum Kreis beträgt (nicht 100% genau) 27,6°
Je nach Konstruktionsmeßpunkt und ab wo 27,6 oder zB 45 oder 90 + oder - 27,6.
Ich vermute dahinter ein Naturgesetz und auch musikalische Gemeinsamkeiten.
Über eine zwei Quadrate schneidende Diagonale von (nicht 100% genau) 26,6° kann über Zirkelschläge ein Winkel von 27,6° (nicht 100% genau) konstruiert werden. ( 1° )
... gibt es auch aus musiktheorethischer Sicht Parrallelen?

 

[Claus]

Ausgangspunkt "unserer" Musik ist die Naturtonreihe, die man auf - unkorrigiert und ohne Klappen oder Ventile gespielten - Blasinstrumenten und in den Obertönen der Saitenteilung findet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Naturtonreihe

Vor rund 400 Jahre begannen Entwicklungen zur gleichstufigen Stimmung, die dann im 18. Jahrhundert nach und nach zur üblichsten Stimmung wurde.
Auch wenn sich alles berechnen lässt, notwendige Korrekturen wie das pythagoräische Komma zeigen letztlich, dass die "Naturgesetze" in der Musik nicht alles sind.
https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung

Gruß Claus

 

[Be-3]

Es gibt die Möglichkeit eine Gradscheibe manuell erstaunlich genau mit Lineal und Zirkel zu konstruieren
die zu Recht auch als Quadratur des Kreises verstanden werden kann und muß.

Nein, eigentlich gerade das nicht!

Unter "Quadratur des Kreises" versteht man die Konstruktion (nur mit Zirkel und Lineal!) eines Quadrats, das exakt (!) den gleichen Flächeninhalt hat wie ein Kreis.
Näherungen gibt es viele, das ist in der Praxis auch ausreichend - aber bei der "Quadratur" geht es eindeutig um eine exakte Lösung, und das Lineal darf man auch nicht zum Messen von Strecken benutzen, sondern nur zum Zeichnen gerader Linien.

Aufgabe: Konstruiere ein Quadrat, das exakt den gleichen Flächeninhalt wie ein gegebener Kreis hat.
Lösung: geht nicht. Wie schon von Lindemann (nicht Lindermann) bewiesen hat. Punkt.

Es geht hierbei ums philosophische Prinzip. Natürlich kann auch eine Konstruktion niemals exakt sein, weil ein realer Punkt niemals punktförmig ist, eine reale Gerade niemals die Dicke 0 hat usw. usw.

Näherungen
Es gibt sehr viele, teilweise recht aufwendige Näherungskonstruktionen, aber das Ziel ist mit einer Näherung nicht erreicht.
Sogar die Ägypter kannten schon konkrete Zahlenbeispiele, die mit guter Näherung stimmten (Kreis mit Durchmesser 9 und Quadrat mit Seitenlänge 8, siehe Papyrus Rhind).

Eine "leichte Ungenauigkeit" gibt es auch beim Quintenzirkel (@Claus erwähnte schon das pythagoräische Komma), aber damit hat es sich schon. Der Quintenzirkel ist ja nur eine kreisförmige Anordnung der Tonarten - die Abstände, vor allem in bezug zum Radius, haben keine Bedeutung.

Spielerei:
Wenn man den "Abstand" der Quinten im Zirkel von Tonart zu Tonart mit 1/12 Kreisumfang wörtlich nimmt, kann man das Intervall berechnen, das dem Radius oder dem Kreisdurchmesser entspricht.

Das läuft darauf hinaus, dass man ein esoterisches "perfektes" Intervall definieren kann, das auf der Kreiszahl Pi basiert. Wow...

Viele Grüße
Torsten

 

[LoboMix]

Über eine zwei Quadrate schneidende Diagonale von (nicht 100% genau) 26,6° kann über Zirkelschläge ein Winkel von 27,6° (nicht 100% genau) konstruiert werden. ( 1° )
... gibt es auch aus musiktheorethischer Sicht Parrallelen?

Ich wüsste nicht, was diese Winkel bzw. deren Konstruktion mit dem Quintenzirkel oder überhaupt der Musik zu tun haben sollten. Parallelen kann ich keine erkennen.

Wie @Claus schon erwähnte, bedeutet die schon lange gebräuchliche und heute allgemein übliche gleichstufige Stimmung, dass es bis auf die Oktave keine reinen Intervalle z.B. bei Tasteninstrumenten gibt. Wenn man so will, könnte man daher sagen, dass die ´natürlichen´ Intervalle praktisch nicht in Gebrauch sind, jedenfalls nicht in ihrer eigentlich korrekten, reinen Form.
Die Darstellung des Quintenzirkels als Kreis ´funktioniert´ insofern streng genommen nur mit der gleichstufigen Stimmung. Wenn man nämlich 12 reine Quinten übereinander stapelt, ist das resultierende "His" um das pytagoräische Komma höher als das über reine Oktaven gebildete "C". Für reine Quinten müsste der Quinten-Zirkel also eigentlich eine Quinten-Spirale sein.
Aber erstens wäre das eine unsinnige Verkomplizierung und zweitens ´funktioniert´ der Quintenzirkel ja auch in der vereinfachten Darstellung als Kreis, weil die Quinten temperiert gedacht sind (und in der Praxis temperiert gestimmt werden).

Wie gesagt sehe ich zwischen den beschriebenen Winkelkonstruktionen und der Musik keinerlei Zusammenhang.

 

[Absint]

Ich vermute dahinter ein Naturgesetz und auch musikalische Gemeinsamkeiten.

Und wenn man dann noch in Erwägung zieht, dass die Schlange Ouroboros ebenso einen Kreis bildet...

Ich empfehle einen Blick Kapitel 63 von Eco, Umberto: Das Foucaultsche Pendel, München 1992. (Bspw. in der dtv-Ausgabe, 18. Auflage 2006, S. 465-472).

 

[Palm Muter]

Ich vermute dahinter ein Naturgesetz und auch musikalische Gemeinsamkeiten.

Blöderweise kriegt man Musik mit "Axiomen" nicht zu fassen. Naturgesetze definieren sich ja in erster Linie durch ihre absolute "Unbrechbarkeit". Aber genau das Brechen von Konventionen bzw. die Möglichkeit dazu ist ja ein wesentlicher Bestandteil von Musik.

Ich glaube beim Quintenzirkel muss man insofern mal relativieren, dass er Quintenzirkel heißt weil wenn man in Quinten von einer Tonart in die nächste geht man nach 12 Schritten eben wieder am Anfang ist. Es geht um diese in sich geschlossene Wiederholbarkeit, deswegen der Begriff, nicht um die geometrische Form.
Vor allem, wenn man "praktisch" denkt, die meisten Instrumente mit denen man sich das vor Ohren führen kann spielen ja wirklich auch 1:1 genau das Selbe.

@120 , nimm mal dein Akkordeon und so du die Tonleitern nicht selbst bilden kannst noch ein Gerät, mit dem du sie googlen kannst.

Wenn du nun auf "6 Uhr" schaust findest du dort F#-Dur UND Gb-Dur.
Wenn du nun die beiden Tonleitern spielst:
F#-G#-A#-H-C#-D#-E#-F# (also F#-Dur) und
Gb-Ab-B-Cb-Db-Eb-F (Gb- Dur) spielst,
wirst du feststellen, dass du genau die selben Tasten verwendest.

Das kann man "im Uhrzeigersinn" noch weiter machen, mit C#-Dur und Db-Dur, G#-Dur und Ab-Dur,.... praktisch werden dir aber Tonarten wie G#-Dur kaum begegnen, weil man dafür 8 Kreuze bräuchte - bzw., 6 Kreuze und das F kriegt noch ein Doppelkreuz und heißt dann Fisis Deswegen nimmt man eher Ab-Dur, dass kommt mit 4 bs aus, und auf der Taste G sitzt dann auch ein G und kein F##.
Die Summe an b- und # Vorzeichen von solchen enharmonisch austauschbaren Tonleitern ist immer 12.
F#-Dur (6 Kreuze) und Gb-Dur (6 bs) --> darum ist hier auch die "praktische Grenze" zwischen b- und Kreuztonarten.
G#-Dur (8 Kreuze) und Ab-Dur (4 bs)

Starten wir nun bei 12 Uhr, sprich C-Dur und keinen Vorzeichen.
Jetzt kann man trotzdem nur in b- oder nur in Kreuztonarten denken. Macht man das konsequent ausgehend von C-Dur im Uhrzeigersinn einmal im Kreis landet man nach einer Umrundung wieder auf 12 Uhr und beim Grundton H#. 12 Schritte im Uhrzeigersinn bedeuten, das 12 Kreuze vorgezeichnet sind (passt ja auch, ist in Summe 12 mit den 0bs, die C-Dur vorgezeichnet hat).
Baut man nun die (praktisch komplett hirnrissige) H#-Dur Tonleiter:
H#-C##-D##-E#-F##-G##-A##-H#
stellt man fest, dass das nichts anderes als die Tasten der C-Dur Tonleiter sind:
C-D-E-F-G-A-H-C

Also, wir sind bei einem Punkt gestartet und nach 12 Schritten wieder dort gelandet.
Deshalb wird das als Kreis dargestellt, mit Geometrie hat das nichts zu tun.

Grüße

 

[120]

Natürlich ist die Quadratur des Kreises nicht mathematisch genau konstruierbar mit Lineal und Zirkel.
Die Gradscheibe daher natürlich auch nicht.
Ohne Annäherungslösung die man brauchte kommt man durch Teilung mit Lineal und Zirkel nicht unter 5°.
Mit dieser Konstruktionslösung aber relativ genau.
Als Werkzeug war der Nutzen der 360° gegenüber zB. genauer teilbaren 400° aber vermutlich vielseitiger und vorteilhafter.
Ein Werkzeug beurteilt man nach dessen praktischem Nutzen.
Eine theoretische Unmöglichkeit ist da eher zweitrangig wenn der Zündzeitpunkt damit eingestellt werden kann.
Geht nicht gibts nicht.
In der Astronomie finden sich Entsprechungen zur Gradscheibe in der kleinen Mondwende.
Das scheint mir auch eher kein Kreis zu sein.

 

[Palm Muter]

Hilf mir mal, ich suche musikalischen Bezug in deinem letzten Post, aber ich finde ihn nicht

Versuch mal, die Quintessenz in einem (auch ruhig überzeichneten oder drastisch vereinfachten) Satz zu formulieren. Derweil gehts hier um Zahlenverhältnisse, Geometrie, Musiktheoriegrundlagen und jetzt soll Astronomie auch noch dazu kommen? Wie passt jetzt eine gesamte Oper in diesen Kontext ??
Zuerst ist von Naturgesetz die Rede, nun von Näherung - bitte ein paar Bäume fällen damit man den Wald sehen kann.

 

[WilliamBasie]

ist wie immer in der Esoterik... - man man den unbedingten Willen dazu hat, läßt sich alles von allem ableiten.

 

[Claus]

Eine theoretische Unmöglichkeit ist da eher zweitrangig wenn der Zündzeitpunkt damit eingestellt werden kann.

Bitte bleibe bei der Musik, um die es dir geht.

Was den Inhalt hinter dem schiefen Vergleich betrifft, Du selbst sprichst das musiktheoretische Konzept Quintenzirkel an.
Dazu fragst Du nach "Berechnungen", zu denen dir auch geantwortet wurde.

Eine Antwort wie "Geht nicht, gibt's nicht" auf die gezeigten Voraussetzungen und Beschränkungen des Modells macht nur dann einen Sinn, wenn Du selbst eine diskutable Lösung oder zumindest konkret diskutierbare musikalische Aspekte aufzeigen kannst.
Diese Aussage kann von dir gerne theoretisch gemacht werden, das wäre eine mathematische oder musiktheoretische Aussage - oder ganz praktisch, das wäre in Noten dargestellt bzw. auf dem Instrument eingespielt.

Gruß Claus

 

[LoboMix]

ist wie immer in der Esoterik... - man man den unbedingten Willen dazu hat, läßt sich alles von allem ableiten.

Wobei mich das zitierte Bildmaterial auch in keiner Weise überzeugt. Es ist eine sehr alte und bekannte Tradition in der Malerei, Bezüge und Spannung im Bild durch Fluchtlinien aufzubauen, auch schon lange vor der Einführung der Perspektive. Diese Techniken wurden auch gelehrt.
Es ist daher ein Leichtes und eine Banalität, Winkel-Bezüge in den Bildern zu finden, und wenn diese einer Theorie nur gerade mal so angenähert sein brauchen, dann lässt sich eine Theorie wie die beschriebene sehr leicht überstülpen.
Dabei geht der Erkenntnisgewinn gegen Null, wenn er nicht gar ganz ausbleibt. Wobei das für mich typisch ist für die Esoterik-Moden unserer Zeit: mit Verlaub, viel sinnloses Gefasel.

Wie schon gesagt, macht der Quintenzirkel in einer Musik, in der reine Quinten verwendet werden, keinen rechten Sinn, jedenfalls keinen musizierpraktischen Sinn:
Auf einem mitteltönig oder gar pytagoräisch gestimmten Spinett konnte man einfach nur in einem begrenzten Harmoniebereich um die Grundtonart spielen, also wurden auch keine Stücke mit z.B. entfernten Modulationen komponiert, schon gar keine, die sich im kompletten Quintenzirkel bewegten. Erst Bachs "Wohltemperiertes Klavier" gehört zu den frühesten Beispielen, wo innerhalb einer Stückfolge alle Tonarten genutzt worden. Aber auch da niemals innerhalb eines Stückes, das harmonische Denken dieser Zeit ging auch gar nicht in diese Richtung.
Um ein Stück in einer anderen Grundtonart zu spielen, musste man mitteltönige Instrumente zumindest teilweise umstimmen. Bei den Gamben konnte man die Bünde, die nur aufgebunden waren, verschieben um sie damit einer anderen Grundtonart anzupassen.

Der Quintenzirkel ist, wie schon gesagt wurde, nicht mehr und nicht weniger, als eine anschauliche grafische Darstellung unseres abendländischen Tonartsystems.
Eine Veranschaulichung, kein philosophisches System, erst recht kein esoterisches.

Nebenei sei erwähnt, dass Ignatz Jeitteles in seinem "Aesthetischen Lexikon" von 1839 neben den Quintenzirkel auch den Quartenzirkel setzt. Man kann statt jeweils einer Quinte aufwärts im Uhrzeigersinn auch immer eine Quarte aufwärts gehen. Dann liegen die Be-Tonarten auf der rechten Seite des Kreises und die Kreuz-Tonarten auf der linken.
Eingebürgert hat sich der bekanntlich der Quintenzirkel.

 

[Palm Muter]

Also ja, nach Parallelen in der Musik>>theorie<< fragen und dann Aussagen tätigen wie "theoretische Unmöglichkeit zweitrangig" stellt schon ein wenig in Frage, ob der TO selbst überhaupt eine Idee hat, wo er da gedanklich hinwill - oder @WilliamBasie s hat mit seinem Beitrag voll ins Schwarze getroffen.

Ich trau mich ja idR. kaum was zu bildnerischer Kunst zu sagen weil ich da gefühlt das Wahrnehmungsvermögen eines von Geburt an Gehörlosen habe, der ein Tongeschlecht bestimmen soll (gut, ich seh das Bild wenigstens, aber über mehr als "gefällt mir" oder "boah könnt ich nie" wird meine Interpretation wohl nie hinaus laufen) - aber zumindest der des Rechnens mächtige Techniker zweifelt an der..... "gesamten statistischen Signifikanz" der Grundlage des TO, soweit er meint sie erfasst zu haben.

 

[DandyKong]

Geehrter Musiker 120

zu den anvisierten 27,6° kann ich dank vieler Rundungen nicht genau was sagen. Multiplizierst du diese 27,6° mit 1,618 erhälst du einen 45° Winkel, welcher in einem gleichseitigen Dreieck 2x vorkommt. Die Besonderheit des =seitigen3-ecks ist das Winkelverhältnis 2:1 , was in der Musik einer Oktave entspricht.

Zur Malerei, Musik und Mathematik möchte ich noch folgendes mitteilen. Ein wenig Geschwafel, weil es so schön ist, sei mir bitte gestattet.
Das vorherrschende Gestaltungsmittel in den Karikaturen soll die Geometrie sein. Das könnte auch das einzigste Merkmal sein, das mich eine Verbindung zum im 19.Jahrhundert aufkommenden Historismus erkennen liesse. Und doch ist es gänzlich weit vom le reàlisme des Gustave Courbet entfernt, der die 1.Weltausstellung in Paris 1855 prägte. Zumindest die Werke Reinickes sind kurz darauf entstanden und könnte eventuell als Reaktion daraus resultieren. Der Wille, die beiden Künste Malerei und Musik zu vereinen, ist erkennbar. Die satirische Wirkung ist hier nicht Anlass für die Anfrage, wenn ich mich nicht irre, sondern die mathematische Beschreibung von Kreis, Quadrat und deren Schnittpunkte. Das dabei Winkel auszumachen sind , kann berechnet oder gemessen werden. Rückschlüsse auf die Intention des Malers daraus zu ziehen, ist nicht mein Ding. Mir fällt dazu ein, dass in den Bildern noch mehr Winkel, als diese ominösen 27,6° genutzt werden. Das grosse Musikinstrument in der Bildmitte des Reinicke Bildes ist aus der Zentralperspektive um circa 30° gedreht. Das müsste dem Winkel entsprechen, der bei der Ellipsenkonstruktion aus einem Kreis mit dem Axonographen angewendet wird, welcher auch als Norm in Architekturzeichnungen und Konstruktionsplänen benutzt wird. Genausogut sind Parallelen und rechte Winkel auszumachen.

In älteren Stilleben, Landschaftsmalereien und Personen/Gruppenbilder sind ähnlich Proportionsverhältnisse vom Maler Jahrhunderte vorher festgehalten. Die Malerei wurde mit der Perspektive erwachsen und legte die Wildheit der Höhlenmalerei ab. Aus Zeiten kurzzeitiger Anwesenheit an der Hochschüle für bildende Künste weiss ich noch, das das goldene Dreieck immer wieder in der Bewertung der Proportionsverhältnisse mit einfliesst. Die Natur ist gänzlich an harmonische Verhältnisse gewachsen. Länge und Breite lassen sich an Blätter genauso festmachen wie am Astwerk eines Baumes, wie am Schneckenhaus, Fischen, Dinosauriern, Schmetterlinge. Der Mensch hat eben mit diesen Maße gelebt und gebaut. Aus den Städte- und Landplanungen der Ägypter, Griechen, Chinesen, Mayas und in deren Bauwerken sollen sich viele unterschiedliche, aber ganzzahlige Verhältnisse ableiten lassen. Die, die einen Teil des rechtwinkligen Dreieck entsprechen, sind folgende Intervallverhältnisse , Zahlen 3,4,5 enthalten:
große Terz : 5:4,
Quarte : 4:3,
große Sexte 5:3

Infos zu Proportionen:

jay hambridge dynamic symmetry the greek vase
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Dynamic_symmetry;_the_Greek_vase.pdf

theodore andrea cook the curves of life
https://openlibrary.org/books/OL24181932M/The_curves_of_life

benjamin rowland the evolution of the buddha image
https://books.google.de/books/about...Buddha_Image.html?id=f4cMAQAAIAAJ&redir_esc=y

Gruss

 

[WilliamBasie]

... einen 45° Winkel, welcher in einem gleichseitigen Dreieck 2x vorkommt...

tztztz...

ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seitenlängen und IMMER 3x 60°-Winkel.

Selbst ein gleichschenkliges Dreieck hat nur in der Sonderform: rechtwinkliges Dreieck (= ein Winkel hat 90°) 2x einen 45°-Winkel

Was grundsätzlich gilt: Die Summe der Winkel im Dreieck beträgt 180°

 

[Palm Muter]

Also wenn dann richtig

....erhälst du einen 45° Winkel, welcher in einem symmetrischen, gleichschenkeligen Dreieck, welches weiters über die interessante Eigenschaft verfügt, dass man mit einer Spiegelung über eine Kathete stets eine um Faktor Wurzel aus 2 vergrößerte Version mit genau den selben Proportionen erhält, 2x vorkommt.

Grüße

EDIT
@WilliamBasie , schöner Synchonpost^^

 

[120]

Einen Zusammenhang zwischen Musik und Kreisteilung hielt oder halte ich für überlegenswert.
Die 360°teiung verbunden mit der Astronomie geht zurück auf Hypsikles. Astronom und Mathematiker.
Mozards Oper basiert auf einem Text Ciceros ( Somnium Scipionis ) in dem die Bewegung von Himmelskörpern verbunden mit Tönen erwähnt wird.
Sicher kann man heute eine Gradscheibe nicht nur mit Pi berechnen sondern auch entsprechend genau ausdrucken sofern man die technischen Möglichkeiten dazu hat.
Handgefertigte Gradscheiben sind mathematisch nicht 100% genau aber technisch brauchbar und werden verwendet.
Ich hatte mir schon eine in den Teilungsbereichen unter 5° sichtbar ungenauere aus dem Netz runtergeladen als meine eigene.
Bewährte alte Technik eben. Nicht anderes

 

[turko]

Einen Zusammenhang zwischen Musik und Kreisteilung hielt oder halte ich für überlegenswert.

Na gut, dann fang´ doch mal zu überlegen an, und teile uns danach mit, welcher konkreten Art dieser Zusammenhang gemäß Deinen Überlegungen sein könnte.

Thomas

 

[Absint]

Die ursprüngliche Höhe (148) der Cheops-Pyramide multipliziert mit 10^9 entspricht näherungsweise der Entfernung der Erde zur Sonne (von Charles Piazzi Smyth auf 148mio km., heute im Jahresmittel mit 149,5mio km. berechnet).
Der Umfang der Cheops-Pyramide beträgt 931 Meter. Geteilt durch die doppelte Höhe entspricht das 3,14, der Zahl pi. Der Umfang multipliziert mit 24³/2 ergibt näherungsweise den durch Eratosthenes berechneten Erdradius.

Verrückt, nicht wahr?

 

[Gast285741]

Einen Zusammenhang zwischen Musik und Kreisteilung hielt oder halte ich für überlegenswert.
.....

Ich auch, wenn ich da auch nicht so hinterher war mit dem Zirkel..; )

Natürlich ist der Kreis ein darstellerisch probates Mittel, zumal der Oktavraum in 12 "gleiche" Halbtöne aufgeteilt wurde, passt also gut zur Aufteilung
mit vielen Analogien, bis zur Uhr.
Durch Quint- oder Quartschichtung ergibt es sich halt so, dass alle 12 halbtöne auf dem Kreis unterkommen.
Es gibt ja auch Grossterz oder Kleinterzzirkel..

Es ist letzlich eine mathematische Darstellungsoption von Tonschritten, Intervallen und deren Symmetrie optisch zu unterstützen.
Nur führt einen ein tieferes Starren auf etwaige Gradzahlen da nicht oder nur begrenzt weiter, ein Beispiel.

Gegenüber des C´s steht das F#/Gb, also 180°, direkte Gerade, halber Umfang, Fläche usw.
Ich kann aber aus diesen auf den ersten Blick symetrischen Verhältnissen nichts über das Verhalten zweier Töne letztendlich erkennen,
ausser ich interpretiere diese aus der Erfahrung.

Dieses Intervall ist das spannungsreichste, der Tritonus, das sagen aber die reinen geometrischen Zahlen nicht aus, ausser ich verorte der Position
ein Prädikat, aha gegenüber heisst Spannung, halbes Oktavraumintervall heisst Spannung.

Allerdings sagt mir das nicht eine Gradzahl, ein Flächenwert etc. aus sich heraus.

Fazit der Kreis beitet sich an den Halbtonraum grafisch darzustellen, egal ob in Quinten, Terzen oder Ganztonleitern.
Das Auge kannt dort die Intervallstrukturen mit verinnerlichen. Also eine reine darstellerische Option weil natürlich
in der Musik, Schwingungen mathematische Strukturen inne sind, aber nicht zur Genüge mit Geometrie befriedigend erklärbar,
denke da ist auch das Auge begrenzt..

Edit..Ich war hier in der anderen Ecke des Forums noch gar nicht so, also ein Grüssgott
Gitarrenforum meisst seit ich wieder bissl spiele..

 

[120]

Super Danke
Damit habe ich als zugegeben schlechter Mathematiker eine Antwort.
Eine Gemeinsamkeit von 12 und 360 ist ihre Teilbarkeit durch 3 und 4