Mein Tipp waere es sich mit dem Begriff der Frequenz etwas naeher zu beschaeftigen Insbesonder der Beschreibung von zeitlichen Funktionen im Frequenzbereich. Die Mathematik hierzu ist etwas schwieriger, aber da unser Gehoer eine Fouriertransformation durchfuehrt hat jeder eine praktische Vorstellung darueber.Ich halte es fuer wichtig zwischen einer Beschreibung im Zeitbereich (Huellenkurven) und im Frequenzbereich (Spektrum) wenigstens genauer trennen zu koennen.
Dabei geraet in eingen Faellen selbst unsere Wahrnehmung durcheinander :
Einfachstes Beispiel fuer Zeitbereich, Frequenzbereich
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Ein "einfaches" Beispiel aus der Schulphysik/Mathematk dazu waere das Phaenomen der Schwebung. Gitarristen stimmen ihre Seiten, indem sie zwei Seiten der Frequenzen w1,w2 schwingen lassen und die Periodendauer der dabei entstehenden Amplitudenmodulation ueber die Stimmung maximieren. Dann gilt w1=w2
Das ist ein zunaechst recht einfacher Vorgang. Es werden lediglich zwei Zeitfunktionen mit zwei unterschiedlichen Frequenzen ueberlagert, addiert. Also z.B :
y(t)=sin(w1*t)+sin(w2*t) (w, klein Omega, steht fuer die Kreisfrequenz 2*Pi*f)
Hier kann man ein Beispiel fuer Schwebungen fuer verschiedene Frequenzen hoeren.
Liegen die Frequenzen eng zusammen wie am Anfang des Sweeps ist die Amplitudenmodulation am besten zu hoeren.
Welche Amplitudenmodultaion ? In y(t)=sin(w1*t)+sin(w2*t) werden doch lediglich zwei Schwingungen ueberlagert.
Hier hilft ein Mathematikbuch weiter. Es gilt der Zusammenhang :
sin(w1*t)+sin(w2*t)=2*sin( (w1+w2)*t/2)*cos( (w1-w2)*t/2)
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Was stellt dieser Zusammenhang dar ? Die linke Seite beschreibt die Ueberlagerung zweier Frequenzen und die rechte Seite eine Amplitudenmodulation. Was hoeren wir nun aber konkret ? Die rechte Seite oder die linke Seite ? Oder gar beides ? Das haengt von den konkreten Werten w1 und w2 ab, aber auch vom Zuhoerer. Das Beispiel zeigt, dass bei akustischen Phaenomen auch immer der Zuhoerer, die Physiologie zu beachten ist.
Fuer die Programmierung von Sounds sollte man sich somit auch ein wenig mit der Physiologie des Hoerens beschaeftigen.
Das kleine Schwebungsbeispiel zeigt noch mehr. Die beiden harmonischen Schwingunen werden im Spektrum eindeutig durch zwei Spektrallinien, Frequenzen w1 und w2 beschrieben.
Die Summen und Differenzfrequenzen w1+w2 sowie w1-w2 existieren "real" in einer Frequenzbeschreibung ueberhaupt nicht. Lediglich im Zeitsignal kann man die Periodendauer der Amplitudenmodulation messen. Nicht jeder Perodendauer ist im Spektrum somit eine Frequenz zugeordnet. Im WIKI Artikel zur Schwebung ist dies genaugenommen sogar falsch bezeichnet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Schwebung
Es existiert keine Schwebungsfrequenz im Spektrum ! Ein Spektralanalyzer wuerde auch kein w1-w2 anzeigen. Das Gehoer kann diese lediglich wahrnehmen weil es auch Huellenkurvenverlaufe registriert. Und bei einer tiefen Quinte entsteht eine akustische Taeuschung, da das Gehoer die Huellenkurve als reale Frequenz (eine Oktav tiefer) interpretiert. Das haben Orgelbauer schon immer sehr gerne ausgenutzt. (Bei der Hammond bin ich mir nicht sicher.)
Das Schwebungsbeispiel zeigt jedoch noch viel mehr. Nimmt man die rechte Seite der Gleichung, so wird klar, dass die Multiplikation zweier Zeitsignale nicht der Multiplikation deren Fouriertransformierten, Spektren entspricht. Die Multiplikation zweier verschiedener Spektrallinien ergaebe Null. In derTat entspricht der Multiplikation im Zeitbereich einem komplizierten mathematischen Ausdruck im Frequenzbereich. Dem Faltungsintegral. Im einfachen Schwebungsbeispiel koennte man dies grapisch noch einfach veranschaulichen weil harmonische Schwingungen lediglich eine einzelne Spektrallinien erzeugen. Wuerde man zwei Sagezahnsignale multiplizieren so ist die Faltung im Frequenzbereich schon eine sehr kompliziertere Angelegenheit.
Nun stellt auch die Frequenzmodulation wie die Amplitudenmodulation eine nichtlineare Operation dar und kann daher im Spektrum nicht mit einfachen mathematischen Funktionen beschrieben werden. Es ergeben sich dabei z.B. die sogenannten Besselfunktionen. Man kann fuer diese einige komplizierte Regeln herleiten, aber eine systematische Vorgehensweise ist kaum mehr moeglich.
Verwendet man Frequenzmodulation bei einem Sounddesign, so wird man Ergebnisse durch Ausprobieren ermitteln. Eine gezielte Vorgehsweise ist kaum mehr moeglich.
Man kann jetzt noch weiter gehen. Die Problematik der Nichtlinearitaet durchzieht die gesamte Mathematik und Technik. Physikalische Modelle werden durch Differentialgleichungen beschrieben und diese versucht mittels Integraltransformationen wie die Fouriertransformation zu loesen. D.h. die Mathematiker Ingenieure versuchen tatsaechlich Loesungen zu hoeren
Und dem sind im nichtlinearen Fall grenzen gesetzt. Wie es das kleine Schwebungsbeispiel bereits zeigt. Diese Grenzen nichtlinearer Berechenbarkeit fuehren dann zu Themen wie der Chaostheorie. Wir denken und rechnen linear, aber die Welt, auch Musik und Malerei ist weitaus komplexer und nichtlinear. Schon ein Fender Rhodes zeigt dies ueber seine Klangstaebe die Frequenzmodulationen enthalten, also nichtlinear arbeiten. Die Chaostheorie beruecksichtigt dies und dabei stellt sich heraus,
dass der goldene Schnitt (1+Wurzel(5))/2=1.618.... in der Natur eine besondere Rolle spielt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
In den bildenden Kuensten ist dies seit langem bekannt und in allen bekannten Meisterwerken der Malerei findet man Proportionen im Verhaeltnis des goldenen Schnittes. Dieses erscheint uns besonders harmonisch.
Die besonderheit dieser Propotion hat zwei fundamentale Ursachen. Der goldene Schnitt ist die irrationalste aller Zahlen und bildet daher gegenueber natuerlichen Zahlen einen Antiresonator. D.h. Instabilitaeten durch Resonanzen in Form ganzzahliger Verhaelnissen werden vermieden. Somit findet sich der Goldene Schnitt auch in unserem Sonnensystem wieder oder z.B. in den Saturnringen. Ode in Pflanzenformen. Und das empfinden wir anscheinend als harmonisch. Johannes Kepler war hier seiner Zeit weit voraus :
http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
Allerdings enthaelt diese Weltenharmonik, die das Universum als eine Art Synphonie beschreibt einen kleinen Denkfehler
Wenn man auf der WIKI Seite zum goldenen Schnitt naemlich nach der Bedeutung dieses Zahlenwertes in der Musik nachliest wird man enttaeuscht sein. Der spielt hier scheinbar kaum eine Rolle ! Es gibt sogar akademische Arbeiten die verzweifelt versuchen in irgendeiner Form den goldenen Schnitt in der Musik zu finden. Eher vergeblich, an den Haaren herbeigezogen.
In der Malerei ist der goldene Schnitt allgegenwaertig. Warum in der Musik nicht ?
Ich meine er ist dort in Form des Zipfschen Gesetzes versteckt. Und der goldene Schnitt ist in den Fibonaccizahlen erhalten. Findet man nun einen Zusammenhang zwischen dem Zipfschen Gesetz und den Fibonaccizahlen so hat man einen Anhaltspunkt in welcher Form der goldene Schnitt in der Musik verborgen ist. Diesen Zusammenhang hab ich sogar gefunden. Kann ich gerne naeher darstellen.
Zusammenfassend :
Will man ueber eine rein analytische lineare Vorhehensweise hinaus sich mit Aspekten der Kunst beschaeftigen, so sollte man sich auch im Gebiet der Nichtlinearen Systemdynamik, Chaostheorie umschauen. Allerdings kann man auch mit diesem Hintergrund nicht auf Kommando kreativ sein. Eine Groesse wie der goldene Schnitt in der Malerei waere natuerlich schon sinnvoll. In der Musik scheint hier das Zipfsche Gesetzt ( auch Pareto, Z-Verteilung oder 80/20 Regel genannt) eine Rolle zu spielen.
Mozart ist leichter "verständlich" als Schönberg
http://sciencev1.orf.at/science/news/116198
Rosa Rauschen, 1/f Spektren sind dazu verwandt aber ein etwas anderes Phaenomen.
Global Scaling beschaeftigt sich mit dieser Thematik, ist aber ein wenig kompetenter Abzockverein.
Gruesse
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