Im Grunde ist das ganz einfach:
Du guckst, welche Töne in dem Takt (z.B.) sind, und welcher Akkord sich daraus ergibt.
Du solltest wissen, welche Tonart das Stück hat, und welche Akkorde entsprechend dazu gehören (Funktionstheorie find ich an der Stelle ein wenig geschickter als Stufentheorie, weil man grade die Kadenzen richtig spielen sollte).
Wenn man das Lied kennt, hat man meist schon eine Vorstellung davon, wie die "korrekten" Akkorde klingen, es gibt aber nicht immer nur "die eine" Lösung.
Töne können in ihrer Funktion umgedeutet werden. Was vllt die Terz des einen Akkordes ist, ist die Quinte eines Anderen, und manchmal passen beide Akkorde (weil in der Melodie nicht alle Akkordtöne vorkommen).
Das ist letztlich eine Frage des Geschmackes und des Arrangements. Wenn du ne Jazz-Version machen willst, wirst du da andere "Regeln" anwenden, als wenn du einen vierstimmigen Satz als Ziel hast. Wenn du ein trauriges Lied draus machen willst, wirst du vmtl öfter mal Akkorde in die Moll-Parallele umdeuten.
Das ist so der Moment, wo man sich von "richtig" und "falsch" verabschieden sollte, und eher sowas wie Trivial-Lösung und "special-Arrangement" sagt.
Meist gibt es eine recht offensichtliche "Lösung", aber nicht immer ist das auch spannend.
Dann musst du halt gucken (entscheiden) wann Akkordwechsel sind. Häufig auf 1, aber eben auch manchmal mitten im Takt, und dir eine konsistente Geschichte für das ganze Stück überlegen.
etc pp.
Die Idee von @turko ist auch gut und hilfreich: sieh zu, dass du ein wenig Ahnung hast, wie sich was anhört. Das hilft sehr viel bei den ganzen Entscheidungen.
Auch wenn man im Grunde von den Noten her theoretisch sehr, sehr viel ableiten kann. Musik bleibt letztlich eine Sache der Ohren. Zumindest so ganz grundlegende Sachen "ist das eher Dur oder Moll" sollten schnell klar sein. Auch Akkordfolgen hören. (findest du oft unter "Kadenzen" in solchen Gehörbildungssachen. Dort wird oft unter einer Kadenz eine beliebige Akkordfolge verstanden. (kurzer Ausflug: eigentlich/ursprünglich bezieht sich der Begriff "Kadenz" auf einen Schluss. "Die Kadenz" umfasst dann die letzten 2-3 Akkorde eines musikalischen Abschnittes. Man findet aber in vielen solcher Gehörbildungs-/Harmoniehlerebüchern eine etwas freiere Auslegung des Begriffes, in Ermangelung eines besseren))
Hören hilft generell immer, wenn es mit dem Wissen verknüpft ist, was da passiert. Das solltest du immer wissen, wenn du was hörst.
Für solche Begleitungen einer Melodie sind dann solche Fragen wichtig:
Dinge wie: wann ist eine Phrase zuende? klingt das nach einem (üblichen) Dominant-Tonika (V-I) Ende, oder nicht?
"Spontan" etwas zu begleiten, ist immer eine schwierige Sache, weil man dann sehr fit sein muss, in den ganzen Dingen, die ich eben erzählt hab.
Selbst eine einfache Begleitung erfordert mindestens ein paar Minuten Studium der Töne. Ich musste das mal in einer Prüfung machen, und selbst da hatten wir für ein recht simples (vllt 25-30 taktiges) Lied ~10 min Zeit, um da drüber zu gucken und uns was einfallen zu lassen, bevor wir das dann vorgespielt haben.
Man kann da erstmal mit den Akkorden der Tonart hantieren, dann hört sich das schonmal nicht falsch an.
Tonart ist eh das wichtigste. Die wissen, und wissen welche Akkorde dazugehören. Quasi den Quintenzirkel im Kopf haben. Damit kommst du schon weit.
Und je öfter man das macht, desto leichter fällt es. Aller Anfang ist schwer ;-)
Ich dachte mir also ich arbeite in den Ferien schonmal vor. Allerdings brauche ich für de Anfang eine Anleitung. Ich besitze ein ziemlich gutes vorwissen in Musiktheorie. Hilfreich wäre allerdings eine Anleitung, die das auf Gitarren bezogen beibringt. Könnt ihr mir dabei helfen? Schön wärs wen sie online wäre. Oder wenn jemand von euch mir eine Anleiung schreiben würde, ruhig in diesen Thread 
