Dringendes Problem zu Paul Hindemiths Reihe!

[Hindemith]

Hallo!

Ich habe ein dringendes Problem zu Paul Hindemith, wobei ich dazu im Internet nicht besonders viel finden kann. Und zwar hat Hindemith ja zwei Reihen entworfenen, eine normale Tonreihe und eine Reihe für Intervalle, die er für seine Kompositionen verwendet. Die Tonreihe lautet wie folgt:
C-G-F-A-E-Es-As-D-B-Des-H-Ges/Fis
Ich wüsste nun gerne wie Hindemith auf diese Reihe gekommen ist. Anscheinend hat er dies durch genaue Berechnungen von Frequenzen, Schwingungsverhältnissen oder Intervallen geschafft, die er irgendwie aus der Obertonreihe abgeleitet hat (hab keine Ahnung ). Kennt sich da zufällig jemand aus und weiß wie man da drauf kommen kann? Das wäre echt klasse.

Mfg

Hindemith

 

[HëllRÆZØR]

Anscheinend hat er dies durch genaue Berechnungen von Frequenzen, Schwingungsverhältnissen oder Intervallen geschafft, die er irgendwie aus der Obertonreihe abgeleitet hat (hab keine Ahnung ).

Wie kommst du zu dieser Vermutung?
Hast du irgendwo gelesen, dass es so sein muss?
Für mich sieht das einfach aus wie eine ganz normale 12-Tonreihe,
ich würde eher vermuten dass da chromatische Regelmäßigkeiten drin stecken,
zur Obertonreihe finde ich da auf den ersten Blick keinen Bezug.
Ich kann mich da aber auch irren.

 

[HëllRÆZØR]

Ich glaube ich hab's jetzt:
Die Folge C-G-F-A-E-Es-As-D-B-Des-H-Ges/Fis
hat die Intervalle (jeweils vom C aus) 1 5 4 6 3 b3 b6 2 b7 b2 j7 #4.

Die Verhältnisse (reine Stimmung) lauten:
1 (1:1), 5 (3:2), 4 (4:3), 6 (5:3), 3 (5:4), b3 (6:5), b6 (8:5), 2 (9:8), b7 (16:9), b2 (16:15), maj7 (15:8), b5 (64:45)

Wenn man von dem H (gr. Septe) absieht werden die Intervalle zunehmend dissonanter.
Da das H zwischen dem Des und dem Ges aber eher wie ein Ces (verm. Oktave, 48:25) wahrgenommen wird passt es dann wieder.

Es ist allerdings immer eine Interpretationssache, welche Verhältnisse man für die Intervalle nimmt,
aber so im Groben dürfte die Folge wohl die immer dissonanter werdenden Intervalle vom C aus beschreiben.

 

[Hindemith]

Ah das hört sich doch gut an. Es ist richtig, dass die Intervalle immer dissonanter werden. Hindemith hat die Reihe extra so angelegt, dass dies der Fall ist. Die Verwandtschaft der Töne zum Grundton C soll von links nach rechts immer mehr abnehmen. Ich wusste nur nicht genau wie man dass beweisen/berechnen kann. Heißt das also, wenn bei den Verhältnissen, geht man mal von Brüchen aus, Nenner oder Zähler immer größer werden, dann wird das ganze immer dissonanter? Das wäre eine Erklärung. Aber was hat das mit der Obertonreihe zu tun? Angeblich hat Hindemith nur die ersten 6 Obertöne verwendet, um auf die Reihe zu kommen.
Danke auf jeden Fall für die Hilfe

 

[HëllRÆZØR]

Heißt das also, wenn bei den Verhältnissen, geht man mal von Brüchen aus, Nenner oder Zähler immer größer werden, dann wird das ganze immer dissonanter?

Jein.
Prinzipiell kann man schon danach gehen, allerdings kann unser Ohr leichte Frequenzunterschiede nicht unterscheiden.
Die übermäßige Sekunde in der pythagoräischen Stimmung hat z.B. das Frequenzverhältnis 19683:16384 (317.60 Cent),
liegt aber so nah an der kl. Terz der reinen Stimmung (6:5, 315.64 Cent)
dass sie sich für uns konsonanter als die kl. Terz der pythagoräischen Stimmung (32:27, 294.13 Cent) anhört,
obwohl sie ein wesentlich höheres Frequenzverhältnis hat.

In der gleichstufigen Stimmung (unsere heutige Stimmung) lassen sich die Intervalle nicht mal durch ganzzahlige Verhältnisse darstellen, unsere Quinte hat z.B. die 2^(7/12)-fache Frequenz (12-te Wurzel aus 2 hoch 7).
Da sie sich mit ihren 700 Cent aber kaum von der natürlichen Quinte (3:2, 701.96 Cent) unterscheidet
nehmen wir auch diese als konsonant wahr.

Es gab übrigens auch eine Zeit, in der man die Quarte als dissonant empfunden hat,
und manche empfinden das auch heute noch so, aber das hat wiederum andere Gründe.

Aber was hat das mit der Obertonreihe zu tun? Angeblich hat Hindemith nur die ersten 6 Obertöne verwendet, um auf die Reihe zu kommen.

Also die ersten 6 Obertöne entsprechen der 2-, 3-,..., 7-fachen Frequenz.
Sobald man aber den Faktor 7 mit reinbringt kann man den Tritonus als 7:5 darstellen,
was dann aber nicht mehr so gut in diese Reihe passt.
Wahrscheinlich ging es eher um die ersten 6 Harmonischen (oder Teiltöne), also die 1-, 2-,..., 6-fache Frequenz.
(Hier findest du mehr: http://de.wikipedia.org/wiki/Teilt%C3%B6ne#Grundton.2C_Teilt.C3.B6ne.2C_Obert.C3.B6ne)

Aus diesen kannst du jedenfalls alle Intervalle hier zusammensetzen.
In den ersten 6 Teiltönen kommen die Primfaktoren 2, 3 und 5 vor, durch multiplizieren und dividieren kommt man auf die Verhältnisse.
So gesehen würden auch schon die ersten 5 Teiltöne ausreichen.

Danke auf jeden Fall für die Hilfe

Keine Ursache.

 

[Jan1980]

Weil Du die Frage mehrfach gestellt hast, poste ich meine Antwort auch einfach überall:

Hindemith, Unterweisung im Tonsatz, B. Schott's Söhne, Mainz, 1940 (meine Ausgabe, da wird's wohl auch aktuellere geben)

Was Du suchst, ist im Kapitel "Der Werkstoff/ Neuer Vorschlag" beschrieben, ich werd's hier nur kurz skizzieren:

Hindemith geht von einem C aus, um seine Tonleiter zu errechnen. Es geht ihm darum, seinen "Werkstoff" herzuleiten, ihn abzusischern; er möchte sich nicht einfach auf den Kompromiss "temperierte Stimmung" verlassen, wenn ich recht verstanden habe.

Die Regel, die Hindemith aufstellt: "An jeden Oberton einer Reihe werden nacheinander die Maße der unter ihm liegenden Töne der gleichen Reihe angelegt; die Teilung der Schwingungszahl des jeweils zur Berechnung vorgenommenen Obertones durch die Ordnungszahlen der unter ihm liegenden Töne der Obertonreihe ergibt die neuen Tonleitertöne."

Hindemiths "Obertöne" bezeichnen wir heute übrigens als Partialtöne, deshalb sollte man mit der Nummerierung Hindemiths nicht durcheinanderkommen. Hindemiths erster Oberton ist der Grundton, der zweite die Oktave, der dritte die Quint usw. Ich würde anders nummerieren, nämlich Grundton als Grundton, Oktav als erster Oberton, Quinte als zweiter usw. Im folgenden gebrauche ich Hindemiths Nummerierung.

Das C (64Hz) als erster Ton ist der Grundton. Der dritte Oberton, das g (192 Hz), liefert als zweiter Oberton von G den nächsten Ton G (192:2=96). Das c1 (vierter Oberton von C; 256 Hz) liefert als dritter Oberton von F das F (256:3 = 85,33). Das e1 (fünfter Oberton von C; 320 Hz) liefert als dritter Oberton von A das A (320:3=106,66) und als vierter Oberton das E (320:4=80). Das g1 (sechster Oberton von C; 384 Hz) ergibt als fünfter Oberton von Es das Es (384:5=76,8).

Hier stößt Hindemith an eine Grenze, da der siebte Oberton von C, das b1 "eine Sonderstellung" einnehme (der siebte Oberton ist nämlich zu tief), beschäftigt er sich jetzt zuerst mit den bereits verwendeten Obertönen und nimmt nun Oktavtranspositionen nach oben in Kauf, was er bis dahin vermieden hatte. So gewinnt er aus dem c1 (256 Hz) das As (256:5=51,2; 51,2*2 (Oktavtransposition)=102,4).

Damit ist "die Zeugekraft des Stammtones C ... erschöpft". Die restlichen Töne werden aus den "Söhnen Cs" (c, G, F, A, E, Es, As) gewonnen, als "Enkel". Aus d1 (dritter Oberton von G, 288 Hz) kommt das D (288:4=72). Aus f1 (dritter Oberton von F, 341,33 Hz) wird das B (341,33:3=113,78) und das Des (341,33:5=68,27) gewonnen. Aus dem E wird das H gewonnen (120 Hz "Zweiteilung des dritten Obertones h"). Das Ges (91,03 Hz) wird aus dem Des gewonnen und dem Fis(90 Hz; aus H) gegenübergestellt. Dieses Komma (die Abweichung) nimmt Hindemith in Kauf.

Ich hoffe damit konnte ich Dir weiterhelfen...

 

[Jan1980]

Inzwischen habe ich die anderen Beiträge gelesen...

Das ist keine Reihe, sondern eine Aufstellung des Tonmaterials. Die Reihenfolge ergibt sich (teilweise indirekt) aus der Obertonstruktur des Grundtons. Einiges "will" Hindemith, so verwirft er z.B. den siebten Oberton, die zu tiefe Sept, weil sie eben zu tief ist.

Ein stringentes System ist das nicht unbedingt, eher ein Herleitungsversuch der zwölf chromatischen Töne aus einem Grundton.