Andersrum wird ein Schuh draus.
Leider ist genau die Hälfte, die relevant wäre, nicht auf dem Foto.
Hat der die 169er Adresse jetzt am WAN-Anschluss (was erstmal normal wäre, da dieser in deinem Fall unbelegt bleibt bzw. im AP-Mode der WAN-Port eigentlich gar nicht "existiert") oder LAN-seitig? Dann kann das natürlich nicht funktionieren. Der braucht erstmal eine feste IP (z.B. 192.168.0.1) und muss aus diesem Subnet dann auch per DHCP entsprechende Adressen vergeben, z.B. 192.168.0.2 fürs Pult und 192.168.0.3 fürs Handy. Wobei man das Pult auch auf eine feste IP setzen kann, das minimiert Fehlerquellen, wenn der Router mal später als das Pult hochgefahren wird (manche Pulte holen sich ihre IP nur beim Hochfahren - wenn dann kein DHCP-Server da ist, Pech gehabt).
Aus eben diesen genannten Gründen würde ich die DHCP-Funktionalität auch nicht ins Pult "outsourcen", dann dreht sich das Problem nämlich rum. Wenn der Router vor dem Pult bootet, kriegt der wieder keine IP.
Einzig sinnvolle Lösung kann also sein: AP LAN-seitig eine feste IP geben. Pult eine feste IP-geben. DHCP-Server am AP aktivieren, damit das Handy eine Adresse bekommt. Und dann geht das auch.
Vermutlich löst sich das ganze Problem, wenn Du den D-Link nicht als AP, sondern als Router konfigurierst. Dann wird er sich höchstwahrscheinlich quasi als "Alpha-Tier des Netzwerkes" einrichten, hat dementsprechend eine feste IP und der DHCP-Dienst läuft auch.
€: Örgs. Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil.
Naja - fast. Dass die Kiste eine feste IP braucht, stimmt weiterhin. Allerdings ist das ja ein reiner Accesspoint, der kann gar nicht routen und hat auch nur einen einzelnen LAN-Port. Dann ist natürlich nix mit "Auf Router umstellen" und Du musst die IP-Geschichte anderweitig zum Laufen bringen. Schau mal, ob Du's hinbekommst (ein wenig Netzwerkdiagnose sollte in der heutigen vernetzten Zeit jeder mal betrieben haben), ansonsten muss ich mal einen Blick in die Anleitung werfen.